交换二次积分的积分次序∫0−1dy∫21−yf（x，y）dx=∫21dx∫01−xf(x，y)dy∫21dx∫01−xf(x，y)dy．

Question

交换二次积分的积分次序

∫

0 −1

dy

∫

2 1−y

f（x，y）dx=

∫

2 1

dx

∫

0 1−x

f(x，y)dy

∫

2 1

dx

∫

0 1−x

f(x，y)dy

．

Answer 1

由题意可知：
积分区域为：x=0，y=2，x+y=1三条线构成的三角形面积内积分，
变换积分次序，即改变x和y的积分次序，

∫

0 −1

dy

∫

2 1−y

f（x，y）dx函数的积分区域：
y从-1积到0，相应的x则从1-y积到2，
变换积分次序后，积分的面积不变，则有：
x从1积到2，y对应从1-x积到0，
故：

∫

0 −1

dy

∫

2 1−y

f（x，y）dx=

∫

2 1

dx

∫

0 1−x

f(x，y)dy