在三角形ABC中,角ABC=70度,角ACB=30度,P,Q为三角形中两点,角QBC=角QCB=10度,角PBQ=角PCB=20度,求证A,P,Q三点共线

Question

在三角形ABC中,角ABC=70度,角ACB=30度,P,Q为三角形中两点,
角QBC=角QCB=10度,角PBQ=角PCB=20度,求证A,P,Q三点共线

Answer 1

1、
延伸BQ,交AC于K
根据正弦定理有:
QC/BC=sin10/sin160
BC/AC=sin80/sin70
所以QC/AC=(sin10sin80)/(sin160sin70)=(2sin10cos10)/(2sin70cos70)=sin20/sin140
KC/QC=sin20/sin140
所以在△KCQ与△QCA中,有一个公共角,且相邻两边成比例,两个三角形相似,
所以∠QAC=∠KQC=20度
2、
延伸BP,交AC于J
根据正弦定理有:
PB/BC=sin20/sin130
BC/AB=sin80/sin30
所以PB/AB=(sin20sin80)/(sin130sin30)=[cos60-cos100)/(cos100-cos160)
AB/BJ=sin60/sin80
sin80(sin20sin80)-sin60(sin130sin30)
=0.5sin80(cos60-cos100)-0.5sin60(cos100-cos160)
=0.5sin80cos60-0.5sin80cos100-0.5sin60cos100+0.5sin60cos160
=0.5sin100cos60-0.5sin60cos100+0.5sin60cos160-0.5sin80cos100
=sin40+(sin220-sin100)-(sin180-sin100)
=sin40+(-sin40-sin100)-(0-sin100)
=0
PB/AB=AB/BJ
所以在△PBA与△ABJ中,有一个公共角,且相邻两边成比例,两个三角形相似,
所以∠BAP=∠BJA=60度
所以∠PAC=20度
所以A,P,Q三点共线