求矩阵A=（0-22,-2-34,24-3）的全部特征值.并求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.

Question

求矩阵A= （0 -2 2,-2 -3 4,2 4 -3）的全部特征值.并求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.

Answer 1

解: |A-λE|=
-λ -2 2
-2 -3-λ 4
2 4 -3-λ
r2+r3
-λ -2 2
0 1-λ 1-λ
2 4 -3-λ
c3-c2
-λ -2 4
0 1-λ 0
2 4 -7-λ
= (1-λ)(λ^2+7λ-8)
= (1-λ)(λ-1)(λ+8)
所以A的特征值为1,1,-8
(A-E)x=0 的基础解系为 a1=(2,-1,0)^T, a2=(2,4,5)^T
(A+8E)x=0 的基础解系为 a3=(1,2,-2)^T
3个特征向量已正交, 单位化为:
b1=(1/√5)(2,-1,0)^T
b2=(1/√45)(2,4,5)^T
b3=(1/3)(1,2,-2)^T
令 T=(b1,b2,b3), 则T为正交矩阵, 且 T^-1AT=diag(1,1,-8).