已知s*n矩阵A的秩是r,证明存在s*r列满秩矩阵B和r*n行满秩矩阵C,使得A=BC.

Question

已知s*n矩阵A的秩是r,证明存在s*r列满秩矩阵B和r*n行满秩矩阵C,使得A=BC.

Answer 1

这个叫做矩阵的满秩分解,《矩阵论》上的定理.
证明：
A是s×n矩阵,R（A）＝r,则A一定能通过初等行列变换变成如下矩阵
1 0 0 ...0 0
0 1 0 ...0 0
0 0 1 ...0 0
...
0 0 0 ...0 0
就是左上角是一个r阶单位阵,其余部分都是0的m*n矩阵,记这个矩阵为T.
则A＝PTQ,其中P是s*s的可逆阵,Q是n*n的可你阵.
现在将T分解,T=U*V=
1 0 0 *
0 1 0
0 0 1
...
0 0 0
1 0 0 ...0 0
0 1 0 ...0 0
0 0 1 ...0 0
U是s*r阶矩阵,其中上面是一个r阶单位阵
V是r*n阶矩阵,其中左边是一个r阶单位阵
这样正好T＝U*V
所以A=PUVQ＝（PU）*（VQ）=B*C