（1）问题背景如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证：2PA=PB+PC．小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，

Question

（1）问题背景
如图①，BC是⊙O的直径，点A在⊙O上，AB=AC，P为BmC上一动点（不与B，C重合），求证： √(2)PA=PB+PC．
小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB，AP，AC，且AB=AC，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程：
第一步：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；
第二步：证明Q，B，P三点共线，进而原题得证．
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程．
（2）类比迁移
如图②，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB=AC，AB⊥AC，垂足为A，求OC的最小值．
（3）拓展延伸
如图③，⊙O的半径为3，点A，B在⊙O上，C为⊙O内一点，AB= (4)/(3)AC，AB⊥AC，垂足为A，则OC的最小值为___．

Answer 1

（1）证明：将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB（如图①）；

∵BC是直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
由旋转可得∠QBA=∠PCA，∠ACB=∠APB=45°，PC=QB，
∵∠PCA+∠PBA=180°，
∴∠QBA+∠PBA=180°，
∴Q，B，P三点共线，
∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°，
∴QP²=AP²+AQ²=2AP²，
∴QP=√(2)AP=QB+BP=PC+PB，
∴√(2)AP=PC+PB．

（2） 如图②中，连接OA，将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB，连接OB，OQ，

∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°
由旋转可得　QB=OC，AQ=OA，∠QAB=∠OAC
∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°
∴在Rt△OAQ中，OQ=3√(2)，AO=3   
∴在△OQB中，BQ≥OQ-OB=3√(2)-3  
即OC最小值是3√(2)-3

（3）如图③中，作AQ⊥OA，使得AQ=(4)/(3)OA，连接OQ，BQ，OB．

∵∠QAO=∠BAC=90°，
∠QAB=∠OAC，
∵(QA)/(OA)=(AB)/(AC)=(4)/(3)，
∴△QAB∽OAC，
∴BQ=(4)/(3)OC，
当BQ最小时，OC最小，
易知OA=3，AQ=4，OQ=5，BQ≥OQ-OB，
∴OQ≥2，
∴BQ的最小值为2，
∴OC的最小值为(3)/(4)×2=(3)/(2)，
故答案为(3)/(2)．