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(1)问题背景如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合),求证:2PA=PB+PC.小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB,AP,

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(1)问题背景
如图①,BC是⊙O的直径,点A在⊙O上,AB=AC,P为BmC上一动点(不与B,C重合),求证:
2
PA=PB+PC.
小明同学观察到图中自点A出发有三条线段AB,AP,AC,且AB=AC,这就为旋转作了铺垫.于是,小明同学有如下思考过程:
第一步:将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);
第二步:证明Q,B,P三点共线,进而原题得证.
请你根据小明同学的思考过程完成证明过程.
(2)类比迁移
如图②,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=AC,AB⊥AC,垂足为A,求OC的最小值.
(3)拓展延伸
如图③,⊙O的半径为3,点A,B在⊙O上,C为⊙O内一点,AB=
4
3
AC,AB⊥AC,垂足为A,则OC的最小值为___.
作业搜
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:将△PAC绕着点A顺时针旋转90°至△QAB(如图①);
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∵BC是直径,
∴∠BAC=90°,
∵AB=AC,
∴∠ACB=∠ABC=45°,
由旋转可得∠QBA=∠PCA,∠ACB=∠APB=45°,PC=QB,
∵∠PCA+∠PBA=180°,
∴∠QBA+∠PBA=180°,
∴Q,B,P三点共线,
∴∠QAB+∠BAP=∠BAP+∠PAC=90°,
∴QP2=AP2+AQ2=2AP2
∴QP=
2
AP=QB+BP=PC+PB,
2
AP=PC+PB.

(2) 如图②中,连接OA,将△OAC绕点O顺时针旋转90°至△QAB,连接OB,OQ,
作业搜
∵AB⊥AC
∴∠BAC=90°
由旋转可得 QB=OC,AQ=OA,∠QAB=∠OAC
∴∠QAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°
∴在Rt△OAQ中,OQ=3
2
,AO=3   
∴在△OQB中,BQ≥OQ-OB=3
2
-3  
即OC最小值是3
2
-3

(3)如图③中,作AQ⊥OA,使得AQ=
4
3
OA,连接OQ,BQ,OB.
作业搜
∵∠QAO=∠BAC=90°,
∠QAB=∠OAC,
QA
OA
=
AB
AC
=
4
3

∴△QAB∽OAC,
∴BQ=
4
3
OC,
当BQ最小时,OC最小,
易知OA=3,AQ=4,OQ=5,BQ≥OQ-OB,
∴OQ≥2,
∴BQ的最小值为2,
∴OC的最小值为
3
4
×2=
3
2

故答案为
3
2
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