△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若mtanC＝1tanA+1tanB，且2abcosC=c2，则m的值为．

Question

△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若(m)/(tanC)＝(1)/(tanA)+(1)/(tanB)，且2abcosC=c²，则m的值为______．

Answer 1

∵且2abcosC=c²，
∴且2ab•(a2+b2−c2)/(2ab)=c²，
即a²+b²=2c²．
∵(m)/(tanC)＝(1)/(tanA)+(1)/(tanB)，
∴(mcos⁡C)/(sin⁡C)＝(cos⁡A)/(sin⁡A)+(cos⁡B)/(sin⁡B)＝(sin⁡Bcos⁡A+cos⁡Bsin⁡A)/(sin⁡Asin⁡B)=(sin⁡(A+B))/(sin⁡Asin⁡B)＝(sin⁡C)/(sin⁡Asin⁡B)，
即mcos⁡C＝(sin⁡2C)/(sin⁡Asin⁡B)，
∴根据正弦定理和余弦定理的公式可知：
m⋅(a2+b2−c2)/(2ab)＝(c2)/(ab)，
∴m⋅（a²+b²-c²）=2c²，
∵a²+b²=2c²．
∴m⋅c²=2c²，
即m=2．
故答案为：2