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设矩阵A=BC,B列满秩,则r(A)=r(C)
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设矩阵A=BC,B列满秩,则 r(A)=r(C)
▼优质解答
答案和解析
证明:只要证明 AX=0 与 CX=0 同解即可.
一方面,显然CX=0的解是AX=BCX=0的解.
另一方面,设X1是AX=0的解,则AX1=0.
所以 (BC)X1=0
所以 B(CX1)=0
因为 B 列满秩,所以有 CX1=0.
即X1是CX=0的解.
因此有 r(A)=r(C).
注:这个结论在解答判断题时非常有效,只需计算组合系数行列式是否为0即可
一方面,显然CX=0的解是AX=BCX=0的解.
另一方面,设X1是AX=0的解,则AX1=0.
所以 (BC)X1=0
所以 B(CX1)=0
因为 B 列满秩,所以有 CX1=0.
即X1是CX=0的解.
因此有 r(A)=r(C).
注:这个结论在解答判断题时非常有效,只需计算组合系数行列式是否为0即可
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