设曲面Σ：z=x2+y2（z≤1）的上侧，计算曲面积分：∫∫（x-1）3dydz+（y-1）3dzdx+（z-1）dxdy．

Question

设曲面Σ：z=x²+y²（z≤1）的上侧，计算曲面积分：

∫∫

（x-1）³dydz+（y-1）³dzdx+（z-1）dxdy．

Answer 1

设Σ1：

z＝1

x2+y2≤1

取下侧，记由Σ，Σ₁所围立体为Ω，则
Ω=（x，y，z）|x²+y²≤z≤1=（r，θ，z）|0≤θ≤2π，0≤r≤1，r²≤z≤1
且

∫∫

（x-1）³dydz+（y-1）³dzdx+（z-1）dxdy=

∫∫

∑+∑1

(x−1)3dydz+(y−1)3dzdx+(z−1)dxdy-

∫∫

∑1

(x−1)3dydz+(y−1)3dzdx+(z−1)dxdy=I₁+I₂
其中，I₁由高斯公式可得
I1＝−

∭

Ω

((∂P)/(∂x)+(∂Q)/(∂y)+(∂R)/(∂z))dxdydz=−

∭

Ω

[3(x−1)2+3(y−1)2+1]dxdydz
=−

∭

Ω

(3x2+3y2+7)dxdydz＝−

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

rdr

∫

1 r2

(3r2+7)dz=-4π
而I₂由于Σ1：

z＝1

x2+y2≤1

在yoz面和zox面的投影为零，因此根据第二类曲面积分的计算，得
I2＝

∫∫

∑1

(z−1)dxdy＝

∫∫

∑1

(1−1)dxdy＝0，
所以

∫∫

（x-1）³dydz+（y-1）³dzdx+（z-1）dxdy=-4π