同济大学高数121页例10设测得圆钢截面的直径D=60.03mm,测得D的绝对值误差跟&D=0.05mm,利用公式A=π/4D^2,计算圆钢的截面积时,试估计面积的误差

Question

同济大学高数121页例10
设测得圆钢截面的直径D=60.03mm,测得D的绝对值误差跟&D=0.05mm,利用公式A=π/4D^2,计算圆钢的截面积时,试估计面积的误差

Answer 1

直接用函数式A=(π/4)D²及D、ΔD就可以计算出面积绝对误差限ΔA来：
A(D)=(π/4)D²
A(D+ΔD)=(π/4)(D+ΔD)²
ΔA=A(D+ΔD)-A(D)
=(π/4)(D+ΔD)²-(π/4)D²
=(π/4)[2D*ΔD+ΔD²]
将具体数字代入即可.如果需要计算相对误差限,则用ΔA除以A(D)即可.
《高数》在这部分举这个例子主要是为了讲微分的近似计算,也就是说,函数A(D)=(π/4)D²在D处的微小区间上的微分,近似地等于函数在该微小区间上的实际增量.
即：ΔA=A(D+ΔD)-A(D)≈A'(D)ΔD=(π/2)D*ΔD,就这么简单、方便.
微分的计算公式应该知道吧：f'(x)Δx或f'(x)dx
你也可以用两种方法计算的结果进行比较,看两者的误差有多大.其实从式子里已能看出,相差的只是(π/4)ΔD²,本身ΔD就很小,ΔD²就更小了.