已知圆O：x2+y2=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是2+12+1．

Question

已知圆O：x²+y²=1，O为坐标原点，若正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，则线段OC长度的最大值是

√(2)+1

√(2)+1

．

Answer 1

如图，设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=(a)/(2)，θ∈[0，(π)/(2)）．
在△OBC中，a²+1-2acos（(π)/(2)+θ）=OC²，
∴OC²=（2cosθ）²+1+2•2cosθ•sinθ=4cos²θ+1+2sin2θ=2cos2θ+2sin2θ+3=2√(2)sin（2θ+(π)/(4)）+3，
∵θ∈[0，(π)/(2)），
∴2θ+(π)/(4)∈[(π)/(4)，(5π)/(4)），
∴2θ+(π)/(4)=(π)/(2)时，OC²的最大值为2√(2)+3
∴线段OC长度的最大值是√(2)+1
故答案为：√(2)+1