设函数f（x）在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（y＞0）内的有向分段光滑曲线，起点为（a，b），终点为（c，d）．记I=∫1y[1+y2f(xy)]dx+xy2[y2f(xy)−1]dy，（1）证明曲线积分I与路径L无关；（

Question

设函数f（x）在R上具有一阶连续导数，L是上半平面（y＞0）内的有向分段光滑曲线，起点为（a，b），终点为（c，d）．记I=∫(1)/(y)[1+y2f(xy)]dx+(x)/(y2)[y2f(xy)−1]dy，
（1）证明曲线积分I与路径L无关；
（2）当ab=cd时，求I的值．

Answer 1

证明：
（1）：
由 I=∫(1)/(y)[1+y2f(xy)]dx+(x)/(y2)[y2f(xy)−1]dy，
知 P(x，y)＝(1+y2f(xy))/(y)，Q(x，y)＝xf(xy)−(x)/(y2)，
已知函数f（x）在R上具有一阶连续导数，
故：P（x，y）和Q（x，y）在上半平面具有一阶连续偏导，
又 (∂P)/(∂y)＝f(xy)+xyf′(xy)−(1)/(y2)＝(∂Q)/(∂x)
∴曲线积分I与路径L无关．


（2）：
由（1）知曲线积分I与路径L无关，
因而取积分路径为：（a，b）→（c，b）→（c，d），
∴I＝∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy＝

∫	(c，b) (a，b)

P(x，b)dx+

∫	(c，d) (c，b)

Q(c，y)dy
=

∫

c a

(1+b2f(bx))/(b)dx+

∫

d b

[cf(cy)−(c)/(y2)]dy
=(c−a)/(b)+

∫

c a

bf(bx)dx+(c)/(y)

|

d b

+

∫

d b

cf(cy)dy
=(c)/(d)−(a)/(b)+

∫

c a

f(bx)d(bx)+

∫

d b

f(cy)d(cy)
=(bc−ad)/(bd)+

∫

bc ab

f(t)dt+

∫

cd bc

f(t)dt
=(bc−ad)/(bd)+

∫

cd ab

f(t)dt，
由于ab=cd，
故：

∫

cd ab

f(t)dt＝0，
∴I＝(bc−ad)/(bd)．