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设函数f（x）连续，且limx→0f(x)−sinxx=a（a为常数），又F（x）=∫10f(xy)dy，求F′（x）并讨论F′（x）的连续性．
题目详情
设函数f（x）连续，且
=a（a为常数），又F（x）=
f (xy)dy，求F′（x）并讨论F′（x）的连续性．
| lim |
| x→0 |
| f(x)−sinx |
| x |
| ∫ | 1 0 |
▼优质解答
答案和解析
因为
=a（a为常数），
所以
f(x)−sinx=0，
故 f（0）=
f(x)=0．
当x=0时，
F（x）=
f(xy)dy
=
f(0)dy
=0；
∀x≠0，令t=xy，则dt=xdy，
从而，
dy=
，
F（x）=
f(xy)dy
=
dt
=
f(t)dt，
故 F（x）=
．
因为f（x）连续，所以
F(x)=
f(t)dt
=
=
f(x)
=f（0）=0．
从而，F（0）=
| lim |
| x→0 |
| f(x)−sinx |
| x |
所以
| lim |
| x→0 |
故 f（0）=
| lim |
| x→0 |
当x=0时，
F（x）=
| ∫ | 1 0 |
=
| ∫ | 1 0 |
=0；
∀x≠0，令t=xy，则dt=xdy，
从而，
dy=
| dt |
| x |
F（x）=
| ∫ | 1 0 |
=
| ∫ | x 0 |
| f(t) |
| x |
=
| 1 |
| x |
| ∫ | x 0 |
故 F（x）=
|
因为f（x）连续，所以
| lim |
| x→0 |
| lim |
| x→0 |
| 1 |
| x |
| ∫ | x 0 |
=
| lim |
| x→0 |
(
| ||
| x′ |
=
| lim |
| x→0 |
=f（0）=0．
从而，F（0）=
| lim |
| x→0 | <
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