已知a为实数，函数f（x）=alnx+x2-4x．（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（Ⅲ）设g（x）=

Question

已知a为实数，函数f（x）=alnx+x²-4x．
（Ⅰ）是否存在实数a，使得f（x）在x=1处取极值？证明你的结论；
（Ⅱ）若函数f（x）在[2，3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=（a-2）x，若存在x₀∈[(1)/(e)，e]，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=(a)/(x)+2x-4=(2x2-4x+a)/(x)，
假设存在实数a，使得f（x）下x=1处取极值，则f′（1）=0，
∴a=2，
此时，f（x）=(2(x-1)2)/(x)，
∴当0<x<1时，f′（x）>0，f（x）单调递增，当x>1时，f′（x）>0，f（x）单调递增，
∴x=1不是f（x）的极值点，
故不存在实数a，使得f（x）=1处取极值．
（Ⅱ）f′（x）=(2x2-4x+a)/(x)=(2(x-1)2+a-2)/(x)（x>0），
问题等价于，存在x∈[2，3]，使得f′（x）≥0，即a≥2-2（x-1）²，在x∈[2，3]有解，
∴φ（x）=2-2（x-1）²，在[2，3]上递减，
∴φ_min=φ（3）=-6，
∴a>-6；
（Ⅲ）记F（x）=x-lnx，
∴F′（x）=(x-1)/(x)（x>0），
∴当0<x<1，F′（x）<0，F（x）单调递减；
当x>1时，F′（x）>0，F（x）单调递增；
∴F（x）≥F（1）=1>0，即x>lnx，（x>0），
由f（x₀）≤g（x₀）得：（x₀-lnx₀）a≥x₀²-2x₀，
∴a≥(x20-2x0)/(x0-lnx0)，
记G（x）=(x2-2x)/(x-lnx)，x∈[(1)/(e)，e]，
G′（x）=((2x-2)(x-lnx)-(x-2)(x-1))/((x-lnx)2)=((x-1)(x-2lnx+2))/((x-lnx)2)，
x∈[(1)/(e)，e]，
∴2-2lnx=2（1-lnx）≥0，
∴x-2lnx+2>0，
∴x∈（(1)/(e)，e）时，G′（x）<0，G（x）递减，x∈（1，e）时，G′（x）>0，G（x）递增，
∴a≥G（x）_min=G（1）=-1，
故实数a的取值范围为[-1，+∞）．