设u为区域D内的调和函数,f(z)=ux-iuy,问f(z)是否为区域D内的解析函数,为什么?

Question

设u为区域D内的调和函数,f(z)=ux-iuy,问f(z)是否为区域D内的解析函数,为什么?

Answer 1

你写的ux和uy应该是u对x,y的偏导吧,即u'x和u'y.令U=u'x,V=-u'y,则
U’x=u''xx,V‘y=-u''yy,U’y=u''xy,V‘x=-u''yx.调和函数的定义是具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元函数.根据u满足拉普拉斯方程u''xx+u''yy=0,知U’x=V‘y,再根据u二阶偏导连续,知两个混合偏导数相等u''xy=u''yx,即U’y=-V‘x,因此f(z)满足柯西黎曼方程,它在D内解析.