求函数f(x,y,z)=x-2y+2z在条件x^2+y^2+z^2=1约束下的最大,最小值

Question

求函数f(x,y,z)=x-2y+2z在条件x^2+y^2+z^2=1约束下的最大,最小值

Answer 1

高数题目,用拉格朗日剩数法；
但也可用初等数学简单解决：
1＝x^2+y^2+z^2
＝x^2/1+(-2y)^2/4+(2z)^2/4
≥(x-2y+2z)^2/(1+4+4)
→(x-2y+2z)^2≤9
→-3≤x-2y+2z≤3.
∴-3≤f(x,yz)≤3.
所求最大值为：f(x,y,z)|max＝3;
所求最小值为：f(x,y,z)|min＝-3.