证明曲面z=xe^（y/x）上任一点的切平面都过一定点这是微分法在几何上的应用,我琢磨好久了.

Question

证明曲面z=xe^（y/x）上任一点的切平面都过一定点
这是微分法在几何上的应用,我琢磨好久了.

Answer 1

以z'x,z'y 记z对x,y的偏导数.
求得:z'x =e^(y/x)[1- x*(y/(x^2) =e^(y/x)[1- y/x]
z'y = x*e^(y/x)[1/x]= e^(y/x).
在任意点(x,y,z)处的切平面的法向量取为:n = (z'x,z'y,-1)
设切平面上点M(X,Y,Z).则切平面方程为:
z'x(X- x) +z'y(Y-y) -(Z-z)=0
代入相应z'x,z'y 的值,得:
e^(y/x)[1- y/x](X- x) +e^(y/x)(Y-y) -(Z-z)=0
整理得:Z = e^(y/x)[(1-y/x)X +Y-x] +z .注意到(x,y,z)为曲面上的点,故z=xe^(y/x)
有:Z = e^(y/x)[(1-y/x)X +Y-x] +xe^(y/x)
即:Z = e^(y/x)[(1-y/x)X +Y].
即知,切平面总通过点(0,0,0) [ X=0,Y=0,Z=0,总满足方程]
即证明了命题.