如图，固定斜面的顶端安装一定滑轮，左倾角α=53°，右斜面倾角θ=37°，一轻绳跨过定滑轮，两端分别与小物块P和质量为M的小物块Q连接．初始时刻两物块恰好处于静止状态，且离水平地面

Question

如图，固定斜面的顶端安装一定滑轮，左倾角α=53°，右斜面倾角θ=37°，一轻绳跨过定滑轮，两端分别与小物块P和质量为M的小物块Q连接．初始时刻两物块恰好处于静止状态，且离水平地面高度均为h，一切摩擦均不计，P、Q均可视为质点，重力加速度大小为g，取sin37°=0.6，sin53°=0.8．
（1）物块P、Q的质量之比为多大？
（2）若将轻绳剪断后，之后两物块沿各自斜面下滑，求P、Q在斜面上运动的时间之比；
（3）若用手按住Q不动，P的质量增加为原来的2倍，Q的质量为M，放手后，Q不会触及滑轮，P着地后将轻绳子剪断，求放手后Q运动到最高点所经历的时间t．

Answer 1

（1）设P的质量为m．轻绳剪断前，两物块受力平衡，有：
mgsinα=Mgsinθ
得物块P、Q的质量之比为：
(m)/(M)=(sinθ)/(sinα)=(3)/(4)
（2）轻绳剪断后，两物块在各自斜面上做初速度为零的匀加速直线运动，设P、Q在斜面上运动的时间分别为t₁、t₂，加速度分别为a₁、a₂，则：
(h)/(sinα)=(1)/(2)a₁t₁²
(h)/(sinθ)=(1)/(2)a₂t₂²
根据牛顿第二定律有：
a₁=(mgsinα)/(m)=gsinα
a₂=(Mgsinθ)/(M)=gsinθ
得：(t1)/(t2)=(sinθ)/(sinα)=(3)/(4)
（3）放手后，P沿斜面向下运动，Q先沿斜面向上运动，根据牛顿第二定律，对P，有：
2mgsinα-T=2ma
对Q，有：
T-Mgsinθ=Ma
解得：
a=(6)/(25)g
对Q有：
υ²=2a•(h)/(sinα)
得：υ=√((3)/(5)gh)
而υ=at₃，υ=a₂t₄
得：t=t₃+t₄=(7)/(6)√((15h)/(g))=(7)/(2)√((5h)/(3g))
答：（1）物块P、Q的质量之比为3：4；
（2）若将轻绳剪断后，之后两物块沿各自斜面下滑，P、Q在斜面上运动的时间之比为3：4；
（3）放手后Q运动到最高点所经历的时间t为(7)/(2)√((5h)/(3g))．