（2012•金山区二模）如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=6，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点，且AP=BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，连接PQ，设△POQ面积为y，AP=x．（1）用x的代数式

Question

（2012•金山区二模）如图，△ABC中，AB=BC=5，AC=6，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点，且AP=BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，连接PQ，设△POQ面积为y，AP=x．
（1）用x的代数式表示PO；
（2）求y与x的函数关系式，并写出定义域；
（3）连接QE，若△PQE与△POQ相似，求AP的长．

Answer 1

（1）∵AD∥BC，PE∥AC，
∴四边形APEC是平行四边形，
∴AC=PE=6，AP=EC=x，
∵(PA)/(BE)＝(PO)/(OE)，
∴(x)/(5−x)=(PO)/(6−PO)，
∴PO＝(6)/(5)x；

（2）∵AB=BC=5，
∴∠BAC=∠BCA
又∠APE=∠BCA，∠AOP=∠BCA，
∴∠APE=∠AOP，
∴AP=AO=x，
∴当0＜x＜(5)/(2)时，OQ=5-2x；
作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点F、H，
则易得AF=CF=3，AB=5，BF=4．
∵∠OHQ=∠AFB=90°，∠QOH=∠BAF，
∴△OHQ∽△AFB，
∴(QH)/(BF)＝(OQ)/(AB)，
∴(QH)/(4)＝(5−2x)/(5)，
∴QH＝(4(5−2x))/(5)＝−(8)/(5)x+4，
∴y＝−(24)/(25)x2+(12)/(5)x，
所以y与x的函数关系式是y＝−(24)/(25)x2+(12)/(5)x(0＜x＜(5)/(2))；

（3）当0＜x＜(5)/(2)时，
由AP=BQ=x，AQ=BE=5-x，∠PAQ=∠QBE，
可得△PAQ≌△QBE，于是PQ=QE，
由于∠QPO=∠EPQ，
所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ，
可得OP=OQ，
于是得(6)/(5)x＝5−2x，
解得x＝(25)/(16)，
同理当(5)/(2)＜x＜5，
可得x＝(25)/(4)（不合题意，舍去）．
所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为(25)/(16)．