如图,在正方形abcd中,p是bc边上的一点,bp=3pc,q是cd的中点,求证：三角形adq相似与三角形aqp注意是求证：三角形adq相似与三角形aqp

Question

如图,在正方形abcd中,p是bc边上的一点,bp=3pc,q是cd的中点,求证：三角形adq相似与三角形aqp
注意是求证：三角形adq相似与三角形aqp

Answer 1

因为：BP=3PC,所以,PC=BC/4
又ABCD为正方形,所以AB=BC=CD=DA
所以 PC=DA/4=CD/4
又Q是CD中点,所以DQ=CQ=AB/2=BC/2=CD/2=DA/2
所以,PC=DQ/2
又角ADQ=角QCP＝90度
所以,三角形ADQ与三角形QCP相似（SAS)
(2) 因为：三角形ADQ与三角形QCP相似
PC=DQ/2,CQ=AB/2=BC/2=CD/2=DA/2
所以PC与DQ为相似边
所以它们对应的对角相等,即角DAQ=角PQD
又ABCD为正方形,所以角ADQ为直角
所以角DAQ+角AQD＝90
所以角PQC+角AQD＝90
所以角AQP＝180－角PQC－角AQD＝90
即AQ与PQ垂直
设PC=x,则,CQ=DQ=2x,AD=4x,
则AQ=2√5x,QP=√5x
所以AD/DQ=AQ/QP=2,角ADQ=角AQP=90°
三角形adq相似与三角形aqp