设A=0−14−13a4a0，正交矩阵Q使得QTAQ为对角矩阵，若Q的第一列为16（1，2，1）T，求a，Q．

Question

设A=

0	−1   4
−1	3     a
4	a     0

，正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角矩阵，若Q的第一列为(1)/(√(6))（1，2，1）^T，求a，Q．

Answer 1

由于：A=

0	−1	4
−1	3	a
4	a	0

，
存在正交矩阵Q，使得：Q^TAQ为对角阵，且Q的第一列为，(1)/(√(6))(1，2，1)T，
故A对应于λ₁的特征向量为：ξ1＝(1)/(√(6))(1，2，1)T，
故：A

(1)/(√(6))

(2)/(√(6))

(1)/(√(6))

=λ1

(1)/(√(6))

(2)/(√(6))

(1)/(√(6))

，
即：

0	−1	4
−1	3	a
4	a	0

1

2

1

＝λ1

1

2

1

，
由此可得：a=-1，λ₁=2，
矩阵A的特征多项式为：

.

λE−A

.

＝

.

λ	1	−4
1	λ−3	1
−4	1	λ

.

＝0，
可得：

.

λ	1	−4
1	λ−3	1
−4	1	λ

.

＝

.

λ	1	−4
1	λ−3	1
−4−λ	0	λ+4

.

=

.

λ−4	1	−4
2	λ−3	1
0	0	λ+4

.

＝(λ+4)

.

λ−4	1
2	λ−3

.

=（λ+4）（λ-2）（λ-5）=0
故A的特征值为：
λ₁=2，λ₂=-4，λ₃=5，
①对应于λ₁=2的特征向量为：
ξ1＝(1)/(√(6))(1，2，1)T，
②由（λ₂E-A）X=0，即：

−4	1	−4
1	−7	1
−4	1	−4

X1

X2

X3

＝0，
系数矩阵初等行变换，化为：

−4	1	−4
1	−7	1
−4	1	−4

→

1	−7	1
0	−27	0
0	0	0

→

1	0	1
0	1	0
0	0	0

，
可得对应于λ₁=-4的特征向量为：
ξ2＝(−1，0，1)T，
③由（λ₃E-A）X=0，即：

5	1	−4
1	2	1
−4	1	5

X1

X2

X3

＝0，
系数矩阵行村等变换，化为：

5	1	−4
1	2	1
−4	1	5

→

1	2	1
0	9	9
0	−9	−9

→

1	2	1
0	1	1
0	0	0

→

1	0	−1
0	1	1
0	0	0

，
可得对应于λ₁=5的特征向量为：
ξ3＝(1，−1，1)T，
由于A为实对称矩阵，ξ₁，ξ₂，ξ₃为对应于不同特征向量，
所以ξ₁，ξ₂，ξ₃相互正交，只需单位化，
η1＝(ξ1)/(..ξ1..)＝(1)/(√(6))(1，2，1)T，η2＝(ξ2)/(..ξ2..)＝(1)/(√(2))(−1，0，1)T，η3＝(ξ3)/(相关问答设某商品的需求函数为Q=100-5P，其中价格P∈G=0.86*Q/Δt这个公式是怎么推导出来的？3.将一个试验电荷q0(正电荷)放在带有负电荷的大直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动在一种只有固定成本的生产活动中,四个寡头厂商面临的（2014•南昌模拟）一列简谐横波，在t=0.6sp=88的8次方÷8的88次方,q＝11的8次方÷求固定成本某产品单位变动成本10元,单位售价15元在我国,下列成本项目中属于固定成本的是().A.按求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）经过点P（－多选：下列项目中,属于成本类的有下列项目中,属于成多选：下列项目中,属于相关成本的是A．沉没成本B．首页语文数学英语物理化学历史政治生物其他Copyright © 2019 zaojiaoba.cn All Rights Reserved 版权所有 作业搜本站资料来自网友投稿及互联网，如有侵犯你的权益，请联系我们：[e-mail]湘ICP备12012010号)