设L为上半圆周y=(1-x^2)^(1/2),则f(x^2﹢y^2﹚ds=

Question

设L为上半圆周y=(1-x^2)^(1/2),则f(x^2﹢y^2﹚ds=

Answer 1

设L为上半圆周y = √(1 - x²),则 ∫(x²﹢y²) ds =
第一类曲线积分要注意两点：
一是被积函数f(x,y)是定义在曲线L上的,所以要把曲线L的参数方程代入被积函数中；
二是弧微分ds>0,所以把第一类曲线积分化为定积分计算时,上限必须大于下限,这里的α(β)可能是点A(或B)对应的参数,也可能是点B(或A)对应的参数．
由于上半圆周的参数方程为 x = cost,y = sint (0≤t≤π)
所以
原积分 = ∫(x²﹢y²) ds ds = √(x'² + y'²) dt = √(cos²t + sin²t) dt = dt
= ∫(cos²t + sin²t) √(x'² + y'²)dt
= ∫ 1 dt
= π