（2014•天桥区一模）如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，

Question

（2014•天桥区一模）如图1，正方形OABC与正方形ODEF放置在直线l上，连结AD、CF，此时AD=CF．AD⊥CF成立．

（1）正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
（2）正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，求证：AD⊥CF．
（3）在（2）小题的条件下，AD与OC的交点为G，当AO=3，OD=√(2)时，求线段CG的长．

Answer 1

（1）AD=CF．
理由如下：
在正方形ABCO和正方形ODEF中，
AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，
∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，（等式的性质）
即∠AOD=∠COF，
在△AOD和△COF中，

AO＝CO

∠AOC＝∠COF

OD＝OF

，
∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF（全等三角形的对应边相等）；
（2）证明：如图2，设AD与CF交于点H

∵△AOD≌△COF（SAS）（已证）
∴∠OCF=∠GAO（全等三角形的对应角相等）．
∵∠CGH=∠AGO（对顶角相等），
∴△AOG∽△CHG（两个角对应相等的两个三角形相似）．
∴∠CHG=∠GOA=90°（相似三角形的对应角相等）．
∴AD⊥CF．  
（3）如图，连接DF交OE于M，则DF⊥OE，DM=OM=(1)/(2)OE，

∵正方形ODEF的边长为√(2)，由勾股定理得
∴OE=√((√(2))2+(√(2))2)=2，
∴DM=OM=OE×(1)/(2)=1，
∴AM=AO+OM=3+1=4（线段的和差）
在Rt△ADM中，tan∠DAM=(DM)/(AM)＝(1)/(4)．
∴tan∠GAO=tan∠DAM=(1)/(4)＝(OG)/(OA)，

作业搜用户 2017-09-27