已知点P为椭圆x^2/9+y^2/4=1上一动点,点Q为直线l：x-2y-6=0上一动点,求|PQ|的最小值.

Question

已知点P为椭圆x^2/9+y^2/4=1上一动点,点Q为直线l：x-2y-6=0上一动点,求|PQ|的最小值.

Answer 1

先把A看成定点,即变成圆外一定点A到圆(X-2)^2+y^2=1的任意一点B的最小距离问题,设C为圆心,其坐标为:(2,0),|AB|的最小值=|CA|-1
事实上,A为动点,于是上述问题又变为求|CA|的最小值问题了.
设A(5cosθ,3sinθ),|CA|?=(5cosθ-2)?+(3sinθ)?=25cos?θ-20cosθ+4+9sin?θ=16cos?θ-20cosθ+13=16(cosθ+5/8)?+27/4≥27/4
所以|CA|的最小值=3√3/2
故|AB|的最小值为3√3/2-1.