在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．（1）求代数式mn的值；（2）若二次函数y=（x-1）2的图象经过点B，求代数式m3n-2m2n+3mn-4n的值；（3）若反比例函数y=k

Question

在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=(k)/(x)的图象经过点A（1，4）、B（m，n）．
（1）求代数式mn的值；
（2）若二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，求代数式m³n-2m²n+3mn-4n的值；
（3）若反比例函数y=(k)/(x)的图象与二次函数y=a（x-1）²的图象只有一个交点，且该交点在直线y=x的下方，结合函数图象，求a的取值范围．

Answer 1

（1）∵反比例函数y=(k)/(x)的图象经过点A（1，4）、B（m，n），
∴k=mn=1×4=4，
即代数式mn的值为4；

（2）∵二次函数y=（x-1）²的图象经过点B，
∴n=（m-1）²=m²-2m+1，
∴m³n-2m²n+3mn-4n=m³n-2m²n+mn+2mn-4n
=mn（m²-2m+1）+2mm-4n
=4n+2×4-4n
=8，
即代数式m³n-2m²n+3mn-4n的值为8；

（3）设直线y=x与反比例函数y=(4)/(x)交点分别为C、D，
解

y=x

y=(4)/(x)

，得：

x1=-2

y1=-2

或

x2=2

y2=2

，
∴点C（-2，-2），点D（2，2）．
①若a>0，如图1，

当抛物线y=a（x-1）²经过点D时，
有a（2-1）²=2，
解得：a=2．
∵|a|越大，抛物线y=a（x-1）²的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是0<a<2；
②若a<0，如图2，

当抛物线y=a（x-1）²经过点C时，
有a（-2-1）²=-2，
解得：a=-(2)/(9)．
∵|a|越大，抛物线y=a（x-1）²的开口越小，
∴结合图象可得：满足条件的a的范围是a<-(2)/(9)．
综上所述：满足条件的a的范围是0<a<2或a<-(2)/(9)．