已知锐角△ABC中，BC=30，BC边上的高h=20（1）如图1，△ABC的内接正方形的两顶点在BC上，另两顶点分别在AC，AB上，求这个正方形的面积；（2）如图2，点M在线段AB上（不同于A，B），MN∥BC交AC

Question

已知锐角△ABC中，BC=30，BC边上的高h=20
（1）如图1，△ABC的内接正方形的两顶点在BC上，另两顶点分别在AC，AB上，求这个正方形的面积；
（2）如图2，点M在线段AB上（不同于A，B），MN∥BC交AC于N，以MN为边向下作矩形MNPQ，且满足MQ=2MN，设MN=x，矩形MNPQ和△ABC的公共部分的面积为y，直接写出y与x的函数关系式．

Answer 1

（1）如图，设正方形的边长为a，
∵正方形的对边MN∥PQ，
∴△AMN∽△ABC，
∴(MN)/(BC)=(h−MQ)/(h)，
即(a)/(30)=(20−a)/(20)，
解得a=12，
∴这个正方形的面积=a²=12²=144；

（2）当PQ在BC上时，∵MN∥PQ，
∴△AMN∽△ABC，
∴(MN)/(BC)=(h−MQ)/(h)，
即(x)/(30)=(20−2x)/(20)，
解得x=7.5，
∴①PQ在△ABC内部时，0＜x≤7.5，重叠部分的面积为矩形MNPQ的面积，
y=x•2x=2x²，
②PQ在△ABC外部时，7.5＜x＜30，设矩形MNPQ在△ABC内部的长为b，
∵△AMN∽△ABC，
∴(MN)/(BC)=(h−b)/(h)，
即(x)/(30)=(20−b)/(20)，
解得b=20-(2)/(3)x，
∴y=x（20-(2)/(3)x）=-(2)/(3)x²+20x，
综上所述，y与x的关系式为y=

2x2(0＜x≤7.5)

−(2)/(3)x2+20x(7.5＜x＜30)

．