现有一质地均匀密度为ρ0的实心圆柱体，底面积为S0、高为h0，将其中间挖去底面积为S02的小圆柱体，使其成为空心管，如图1所示．先用硬塑料片将空心管底端管口密封（硬塑料片的体积和

Question

现有一质地均匀密度为 ρ0的实心圆柱体，底面积为S₀、高为h₀，将其中间挖去底面积为(S0)/(2)的小圆柱体，使其成为空心管，如图1所示．先用硬塑料片将空心管底端管口密封（硬塑料片的体积和质量均不计），再将其底端向下竖直放在底面积为S的柱形平底容器底部，如图2所示．然后沿容器内壁缓慢注入密度为ρ的液体，在注入液体的过程中空心管始终保持竖直状态．

（1）当注入一定量的液体时，空心管对容器底的压力刚好为零，且空心管尚有部分露在液面外，求此时容器中液体的深度．
（2）去掉塑料片后，空心管仍竖直立在容器底部，管外液体可以进入管内，继续向容器中注入该液体．若使空心管对容器底的压力最小，注入液体的总质量最小是多少？

Answer 1

（1）空心管对容器底的压力刚好为零，此时空心管处于漂浮状态，浮力等于重力，
设注入液体的深度为h₁，
浮力F_浮=ρgS₀h₁，
空心管的重力G=mg=ρ₀gh₀（S₀-(S0)/(2)），
即ρgS₀h₁=ρ₀gh₀（S₀-(S0)/(2)），
解得液体的深度h₁=(ρ0h0)/(2ρ)；
（2）若管的密度大于液体的密度，设液体深度为h₂，若使空心管对容器底的压力最小，即浮力最大，此时空心管应恰好完全浸没，即液体的深度等于管的高度，h₂=h₀，所以液体的质量m₂=ρ（S-(S0)/(2)）h₀=(1)/(2)ρh₀（2S-S₀）；
若管的密度小于液体的密度，设液体深度为h₃，若使空心管对容器底的压力最小，此时空心管处于漂浮状态，浮力等于其重力，
浮力F_浮=ρg(1)/(2)S₀h₃，
空心管的重力G=mg=ρ₀gh₀（S₀-(S0)/(2)），
即ρg(1)/(2)S₀h₃=ρ₀gh₀（S₀-(S0)/(2)），
解得液体的深度h₃=(ρ0h0)/(ρ)，
液体的质量m₃=ρ（S-(S0)/(2)）(ρ0h0)/(ρ)=(1)/(2)ρ₀h₀（2S-S₀）．
答：（1）此时容器中液体的深度(ρ0h0)/(2ρ)；
（2）若管的密度大于液体的密度，注入液体的总质量最小是(1)/(2)ρh₀（2S-S₀）；
若管的密度小于液体的密度，注入液体的总质量最小是(1)/(2)ρ₀h₀（2S-S₀）．