半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=275，且BD=7，则DE=（）A.5B.4C.32D.722

Question

半圆O的直径AB=9，两弦AB、CD相交于点E，弦CD=(27)/(5)，且BD=7，则DE=（　　）
A. 5
B. 4
C. 3√(2)
D. (7)/(2)√(2)

Answer 1

∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，
∴△AEB∽△DEC；
∴(EC)/(BE)=(DE)/(AE)=(DC)/(AB)=(3)/(5)；
设BE=x，则DE=7-x，EC=(3)/(5)x，AE=(5)/(3)（7-x）；
连接BC，则∠ACB=90°；
Rt△BCE中，BE=x，EC=(3)/(5)x，则BC=(4)/(5)x；
在Rt△ABC中，AC=AE+EC=(35)/(3)-(16)/(15)x，BC=(4)/(5)x；
由勾股定理，得：AB²=AC²+BC²，
即：9²=（(35)/(3)-(16)/(15)x）²+（(4)/(5)x）²，
整理，得x²-14x+31=0，
解得：x₁=7+3√(2)（不合题意舍去），x₂=7-3√(2)；
则DE=7-x=3√(2)．
故选：C．