请教一道高数的问题许多药物进入人体后,其药量q随时间t按指数规律减少：q(t)=q0e^(-kt),其中k为随具体药物而定的常数（k>0）,t为服药后的经过的时间,q0为服药的剂量,因此当病人服某种药物,

Question

请教一道高数的问题
许多药物进入人体后,其药量q随时间t按指数规律减少：q(t)=q0e^(-kt),其中k为随具体药物而定的常数（k>0）,t为服药后的经过的时间,q0为服药的剂量,因此当病人服某种药物,若每次服药的剂量均为q0,两次服药之间的间隔时间为T,则刚服下第（n+1）次药后体内留存的药物总量为
Qn=q0+q0e^(-kT)+q0e^(-2kT)+……+q0e(-nkT)
(1)假设病人无次数限制地按上述方式服该种药物,那么最终人体内所含的药量可达到多少?
（2）假设该药物进入人体内6个小时后,药量减少为原来的一半,求常数k的值.又若病人每隔12小时服一次药,每次服用2mg,那么（1）中求得的药量为多少?

Answer 1

(1) q(t)=q0e^(-kt),
其中k为常数（k>0）,t为服药后的经过的时间,q0为服药的剂量,因此当病人服某种药物,若每次服药的剂量均为q0,两次服药之间的间隔时间为T,则刚服下第（n+1）次药后体内留存的药物总量为:
Qn=q0+q0e^(-kT)+q0e^(-2kT)+……+q0e(-nkT),
当n趋近于∞,
体内留存药物总量=
lim (n->∞)Qn=lim (n->∞)[q0+q0e^(-kT)+q0e^(-2kT)+……+q0e^(-nkT)]=
=lim (n->∞){q0[1+e^(-kT)+e^(-2kT)+……+e^(-nkT)]}=
=q0lim (n->∞)[1+e^(-kT)+e^(-2kT)+……+e^(-T],
1+e^(-kT)+e^(-2kT)+……+e^(-nkT) 是一个等比数列的和,比为e^(-kT),
lim (n->∞)Qn=q0lim (n->∞)[1+e^(-kT)+e^(-2kT)+……+e^(-nkT)]=
=q0lim (n->∞){[1-e^(-nkT)]/[1-e^(-kT)]}=
=q0lim (n->∞){[1-e^(-nkT)]/[1-e^(-kT)]}=
=q0[1/[1-e^(-kT)]=
=q0e^(kT)/[e^(kT)-1].
(2)假设该药物进入人体内6个小时后,药量减少为原来的一半,
q(6)=q0e^(-6k)=q0/2,
e^(-6k)=1/2,
-6k=-ln2,
k=(ln2)/6;
若病人每隔12小时服一次药,T=12,每次服用2mg,q0=2mg,那么（1）中求得的药量为:
体内留存药物总量=2e^(2ln2)/[e^(2ln2)-1].