如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．（1）若BF=BD=2，求BE的长；（2）若M、N分别为EF、DB的中点，求证：MN⊥DB

Question

如图，正方形ABCD中，E为AB边上一点，过点D作DF⊥DE，与BC延长线交于点F．连接EF，与CD边交于点G，与对角线BD交于点H．
（1）若BF=BD=√(2)，求BE的长；
（2）若M、N分别为EF、DB的中点，求证：MN⊥DB．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD正方形，
∴∠BCD=90°，
∴Rt△BCD中，BC²+CD²=BD²，
即BC²=（√(2)）²+（√(2)）²，
∴BC=AB=1，
∵DF⊥DE，
∴∠ADE+∠EDC=90°=∠EDC+∠CDF，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，

∠ADE＝∠CDF

AD＝DC

∠A＝∠DCF＝90°

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF=BF-BC=√(2)-1，
∴BE=AB-AE=1-（√(2)-1）=2-√(2)；

（2）证明：如图：连接DM，BM，
∵DF⊥DE，M为EF中点，
∴DM=(1)/(2)EF，
∵∠EBF=90°，M为EF中点，
∴BM=(1)/(2)EF，
∴BM=DM，
又∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．