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设A与A+E均可逆,G=E-(A+E)^-1,则G^-1=
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设A与A+E均可逆,G=E-(A+E)^-1,则G^-1=
▼优质解答
答案和解析
解: 由 A+E 可逆
所以有 (A+E)(A+E)^-1 = E
所以 -(A+E)(A+E)^-1 = -E
所以 (A+E)-(A+E)(A+E)^-1 = (A+E)-E = A
即 (A+E)[E-(A+E)^-1] = A.
由A可逆, 两边左乘A^-1得
(E+A^-1)[E-(A+E)^-1] = E
即 (E+A^-1)G = E
所以 G 可逆, 且 G^-1 = E+A^-1.
所以有 (A+E)(A+E)^-1 = E
所以 -(A+E)(A+E)^-1 = -E
所以 (A+E)-(A+E)(A+E)^-1 = (A+E)-E = A
即 (A+E)[E-(A+E)^-1] = A.
由A可逆, 两边左乘A^-1得
(E+A^-1)[E-(A+E)^-1] = E
即 (E+A^-1)G = E
所以 G 可逆, 且 G^-1 = E+A^-1.
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