设f(x)在[0,+∞）上单调增加且非负.试证：如果f(f(X))在[0,+∞）上无上界,则在[0,+∞）上也无上界

Question

设f(x)在[0,+∞）上单调增加且非负.试证：如果f(f(X))在[0,+∞）上无上界,则在[0,+∞）上也无上界

Answer 1

用反证法即可
假设f(x)在[0,+∞)上有上界,不妨设为M则
x→+∞时
f(f(x))→f(M)→M
这说明f(f(X))在[0,+∞）上有上界,与已知相矛盾.
故f(x)在[0,+∞）上无上界