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已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1的导函数为f'(x),f'(0)>0.若对任意实数x都有f(x)≥0,则f(1)/f'(0)的最小值为
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已知二次函数f(x)=ax^2+bx+1的导函数为f'(x),f'(0)>0.若对任意实数x都有f(x)≥0,则f(1)/f'(0)的最小值为
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答案和解析
f'(x)=2ax+b
f'(0)=b>0
ax²+bx+1≥0恒成立
所以,判别式=b²-4a≤0,且a>0
a/b²≥1/4,a>0
√a/b≥1/2
f(1)/f'(0)
=(a+b+1)/b
=(a+1)/b+1
≥2√a/b+1
≥2*(1/2)+1
=2
所以 f(1)/f'(0)的最小值为2
f'(0)=b>0
ax²+bx+1≥0恒成立
所以,判别式=b²-4a≤0,且a>0
a/b²≥1/4,a>0
√a/b≥1/2
f(1)/f'(0)
=(a+b+1)/b
=(a+1)/b+1
≥2√a/b+1
≥2*(1/2)+1
=2
所以 f(1)/f'(0)的最小值为2
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