已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）>0，求a的取值范围．

Question

已知函数f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（I）当a=4时，求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（II）若当x∈（1，+∞）时，f（x）>0，求a的取值范围．

Answer 1

（I）当a=4时，f（x）=（x+1）lnx-4（x-1）．
f（1）=0，即点为（1，0），
函数的导数f′（x）=lnx+（x+1）•(1)/(x)-4，
则f′（1）=ln1+2-4=2-4=-2，
即函数的切线斜率k=f′（1）=-2，
则曲线y=f（x）在（1，0）处的切线方程为y=-2（x-1）=-2x+2；
（II）∵f（x）=（x+1）lnx-a（x-1），
∴f′（x）=1+(1)/(x)+lnx-a，
∴f″（x）=(x-1)/(x2)，
∵x>1，∴f″（x）>0，
∴f′（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f′（x）>f′（1）=2-a．
①a≤2，f′（x）>f′（1）≥0，
∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）>f（1）=0，满足题意；
②a>2，存在x₀∈（1，+∞），f′（x₀）=0，函数f（x）在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
由f（1）=0，可得存在x₀∈（1，+∞），f（x₀）<0，不合题意．
综上所述，a≤2．