设f（x，y）可微，且f（1，1）=1，fx（1，1）=a，fy（1，1）=b，令F（x）=f[f（x，x），f（x，x）]，求F′（1）．

Question

设f（x，y）可微，且f（1，1）=1，f_x（1，1）=a，f_y（1，1）=b，令F（x）=f[f（x，x），f（x，x）]，求F′（1）．

Answer 1

由F（x）=f[f（x，x），f（x，x）]，得
F′(x)=f′1[f(x，x)，f(x，x)]•(df(x，x))/(dx)+f′2[f(x，x)，f(x，x)]•(df(x，x))/(dx)
而(df(x，x))/(dx)=f′1(x，x)+f′2(x，x)
∴由f_x（1，1）=a，f_y（1，1）=b，知(df(x，x))/(dx)|x=1=a+b
再由f（1，1）=1，知
f′₁[f（x，x），f（x，x）]|_x=1=f_x（1，1）=a，f′₂[f（x，x），f（x，x）]|_x=1=f_y（1，1）=b
∴F′（1）=（a+b）²