设在上半平面D={（x，y）|y＞0}内，函数f（x，y）具有连续偏导数，且对任意的t＞0，都有：f（tx，ty）=t-2f（x，y）．证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf（x，y）dx-xf（x

Question

设在上半平面D={（x，y）|y＞0}内，函数f（x，y）具有连续偏导数，且对任意的t＞0，都有：f（tx，ty）=t^-2f（x，y）．
证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有

∮

L

yf（x，y）dx-xf（x，y）dy=0．

Answer 1

由：f（tx，ty）=t^-2f（x，y），
上式两边对t求导得：
xf′x(tx，ty)+yf′y(tx，ty)＝−2t−3f(x，y)，
取：t=1，
则：xf′_x（x，y）+yf′_y（x，y）=-2f（x，y），①，
设：P（x，y）=yf（x，y），Q（x，y）=-xf（x，y），
则：
(∂Q)/(∂x)＝−f(x，y)−xfx′(x，y)，(∂P)/(∂y)＝f(x，y)+yfy′(x，y)，
则由①可得：(∂Q)/(∂x)＝(∂P)/(∂y)，
故积分与路径无关，
从而：
选取D中的有向简单闭曲线L，都有：

∮

L

yf(x，y)dx−xf(x，y)dy＝0．