如图所示，在倾角为θ=30°的足够长的固定的光滑斜面上，有一质量为M=3kg的长木板正以v0=10m/s的初速度沿斜面向下运动，现将一质量m=lkg的小物块（大小可忽略）轻放在长木板正中央．已知物

Question

如图所示，在倾角为θ=30°的足够长的固定的光滑斜面上，有一质量为M=3kg的长木板正以v₀=10m/s的初速度沿斜面向下运动，现将一质量m=lkg的小物块（大小可忽略）轻放在长木板正中央．已知物块与长木板间的动摩擦因数μ=(√(3))/(2)，设物块与木板间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度g=l0m/s²

（1）求放上小物块后，木板和小物块的加速度大小．
（2）要使小物块不滑离长木板，长木板至少要有多长？
（3）假设长木板长L=16m，在轻放小物块的同时对长木板施加一沿斜面向上的F=45N的恒力，求小物块在长木板上运动过程中F所做的功及系统机械能的增量．

Answer 1

（1）小铁块在长木板上滑动时受到的沿板的滑动摩擦力大小为：
  f=μmgcosθ=7.5N                                               
由牛顿第二定律，对小物块和长木板，有：
   f+mgsinθ=ma₁            
得 a₁=12.5m/s²                              
   Mgsinθ-f=Ma₂
得 a₂=2.5m/s²                                 
（2）当小物块与长木板共速时，v₁=a₁t₁=v₀+a₂t₁
得 t₁=1s，v₁=12.5m/s                          
共速后，小物块与长木板一起减速，相对位移
 S=(10+12.5)/(2)×1-(12.5+0)/(2)×1=5m
故长木板长度至少为L≥10m                                          
（3）由牛顿第二定律，得：
对小物块有：f+mgsinθ=ma₃，a₃=12.5m/s²，沿斜面向下 
对长木板：F+f-Mgsinθ=ma₄，a₄=12.5m/s²，沿斜面向上
当小物块与长木板共速时，v₂=a₁t₂=v₀-a₄t₂
得 t₂=0.4s，v₁=5m/s               
此时小物块位移   s1=(0+5)/(2)×0.4=1m
长木板位移  s2=(10+5)/(2)×0.4=3m
共速后，假设小物块与长木板一起减速，则    
  F-（M+m）gsinθ=（M+m）a₅
得 a₅=11.25m/s²（沿斜面向上）
对小物块有：f′-mgsinθ=ma₅，f′>f_max=7.5N（沿斜面向上）
所以，小物块将相对长木板向下滑动                                     
对小物块：f-mgsinθ=ma₆，a₆=2.5m/s² （沿斜面向上）   
对长木板：F-f-Mgsinθ=ma₇，a₇=7.5m/s²（沿斜面向上）  
小物块从长木板上滑落时，有 5t₃-(1)/(2)×2.5t₃²-（5t₃-(1)/(2)×7.5t₃²）=8+2
得 t₃=2s          
此时小物块速度  v₄=5-2.5×2=0，位移 s3=(0+5)/(2)×2=5m
长木板速度  v₅=5-7.5×2=-10m/s，位移 s4=(5-10)/(2)×02=-5m
则从小物块轻放在长木板中点到滑落，长木板位移 s₆=3-5=-2m，（沿斜面向上）
F做功 W_F=45×2=90J                                                   
产生热能 Q=fs_相=7.5×[(1)/(2)+2×（3-1）]=90J
机械能增量为△E=W_F-Q=0                                                   
答：
（1）放上小物块后，木板和小物块的加速度大小分别为12.5m/s²和2.5m/s²．
（2）要使小物块不滑离长木板，长木板至少要有10m长．
（3）小物块在长木板上运动过程中F所做的功是90J，系统机械能的增量为0．