质量为m的质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力F=-kv(k为常数)作用,t=0时质点的速度为v0,证明;1)t时刻的速度为v=v0*(e-kt/m)(这是e的指数形式)2)由0到t的时间内经过的距离为x=(mv0/k)[1-e-kt/

Question

质量为m的质点在流体中作直线运动,受与速度成正比的阻力F=-kv(k为常数)作用,t=0时质点的速度为v0,证明;
1)t时刻的速度为v=v0*(e-kt/m)(这是e的指数形式)
2)由0到t的时间内经过的距离为x=(mv0/k)[1-e-kt/m]
3)停止运动前经过的距离为mv0/k
4)当t=m/k时速度减至v0的1/e

Answer 1

(1)
∫dv=∫（-kv/m ）dt(v从v0到v,t从t0=0到t)
∫（1/v）dv=∫（-k/m ）dt 即
ln(v/v0)=-kt/m 即
v=v0*(e-kt/m)
（2）∫dx=∫vdt (v是（1）中的v代入,x从0到x,t从0到t)同理可得
x=(mv0/k)[1-e-kt/m]
（3）停止运动是v=0,t趋与无穷大
∫dx=∫vdt （x从0到x,t从0到无穷）
（4） 由（1）式中的关系得到
（自己完成,不明白的再与我发消息讨论）