如图所示，在坐标系xOy内有一半径为d的圆形区域，圆心坐标为O1（0，a），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场．在M、N之间的矩形区域（即x=2a，x=3a和y=0，y=2a所围成的区域）内有一沿+x方向

Question

如图所示，在坐标系xOy内有一半径为d的圆形区域，圆心坐标为O₁（0，a），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场．在M、N之间的矩形区域（即x=2a，x=3a和y=0，y=2a所围成的区域）内有一沿+x方向的匀强电场．一质量为m、电荷量为-q（q>0）的粒子以速度v₀从O点垂直于磁场沿+y轴方向射入，粒子恰好从A点射出磁场，A、O₁两点的连线与x轴平行．（不计粒子重力）

（1）求磁感应强度B的大小；
（2）为使粒子不从电场的右侧射出，则在M、N上加的电压至少应该多大？
（3）在（2）中若B和E保持不变，试证明：在xOy平面内，不论粒子以速率v从O点沿什么方向射入磁场，粒子在电场和磁场中运动的总时间是一个定值．

Answer 1

  （1）由于粒子在磁场中运动的半径为a，由圆周运动向心力知：qvB=m(v20)/(a)
得出：B=(mv0)/(qa)
（2）根据动能定理知：-qU=0-(1)/(2)m

v

2 0

得出：U=(mv20)/(2q)
（3）证明：设带电粒子在进入磁场时，速度方向与x轴成θ角．由于带电粒子在磁场中运动的轨迹圆的半径与磁场区域的半径相同，因此O

O

1

O

2

E四点连线形成一个菱形，

O

2

E的连线与y轴平行，故带电粒子在出磁场区域时速度方向与x轴平行．
带电粒子在磁场中运动的时间为：

t

1

=(θm)/(Bq)
带电粒子在进入电场时与电场的方向平行，因此在电场中运动的时间为

t

2

=2(mv0)/(Eq)
粒子从电场返回之后，再次在出磁场的位置进入磁场，方向沿x轴负向．同理可知，

O

1

O

2

EF为菱形．带电粒子在磁场中运动的时间为

t

3

=(αm)/(Bq)
根据几何关系可知θ+α=π
所以带电粒子在电场和磁场中运动的总时间为t=

t

1

+

t

2

+

t

3

代入得t=(πm)/(Bq)+2(mv0)/(Eq)
与带电粒子射入磁场的方向无关，是一个定值．
答：（1）磁感应强度B的大小(mv0)/(qB)；
（2）为使粒子不从电场的右侧射出，则在M、N上加的电压至少为

m

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