复数的n次单位根如何理解nthrootsofunity,复数的n次单位根对于给定n=1,2,3,.复数的n次单位根z满足等式：z^n=1怎么得来的?这个有什么用?

Question

复数的n次单位根如何理解
nth roots of unity,复数的n次单位根
对于给定n=1,2,3,.
复数的n次单位根z满足等式：
z^n = 1
怎么得来的?这个有什么用?

Answer 1

单位根（unit root） 设n 是正整数,当一个数的n 次乘方等于1 时,称此数为n 次“单位根”.在复数范围内,n 次单位根有n 个.例如,1、－1、i、－i 都是4次单位根.确切的说,单位根指模为1的根,一般的x^n=1的n个根可以表示为:x=cos(2kπ/n)+sin(2kπ/n)i ,其中:k=0,1,2,..,n-1 ,i是虚数的单位.
本原根
单位的n次根以乘法构成n阶循环群.它的生成元是单位的n次本原根.单位的n次本原根是e2πik / n,其中k和n互质.单位的n次本原根数目为欧拉函数φ（n）
单位的一次根有一个：1.
单位的二次根有两个：+1和-1,只有-1是本原根.
单位的三次根是
{1,(-1+根号3i)/2,(-1-根号3i)/2}
其中i复数单位；除1外都是本根根.
单位的四次根是
{1,+i,-1,-i}
其中 + i和 - i是本原根