正项等比数列{An}的首项A1=1/2,前n项和为Sn,且2^10S30-(2^10+1)S20+S10=0（1）求{An}的通项公式；（2）求{nSn}的前n项和为Tn

Question

正项等比数列{An}的首项A1=1/2,前n项和为Sn,且2^10S30-(2^10+1)S20
+S10=0
（1）求{An}的通项公式；
（2）求{nSn}的前n项和为Tn

Answer 1

、(1)求an的通项
a1=1/2,设公比q,q>0.
Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
2^10*S[30]-(2^10+1)S[20]+S[10]=0
2^10*(S[30]-S[20])-(S[20]-S[10])=0
因为S[30]-S[20]=q^10(S[20]-S[10])
方程两边同除以(S[20]-S[10])得：
则：2^10*q^10-1=0
即q^10=(1/2)^10,q>0
解得：q=1/2
所以a[n]=(1/2)^n
（2）求nSn的前n项和Tn
q=1/2,a[n]=(1/2)^n时,S[n]=1/2(1-(1/2)^n)/(1-1/2)=1-(1/2)^n
nS[n]=n-n*(1/2)^n
∑n=n(n+1)/2
因为：∑n*(1/2)^n-(1/2)*∑n*(1/2)^n=1/2-n*(1/2)^(n+1)
所以：∑n*(1/2)^n=1-n(1/2)^n
所以Tn=∑n=n(n+1)/2-∑n*(1/2)^n=n(n+1)/2+n(1/2)^n-1