设In=∫sinnxdx,证明：In=-1/n(sinn-1xcosx)+(n-1)/n〔In-2〕设中是sinx的n次方,证明中石sinx的n-1次

Question

设In=∫sinnxdx,证明： In= -1/n(sinn-1xcosx)+(n-1)/n〔In-2〕 设中是sinx的n次方,证明中石sinx的n-1次

Answer 1

可以这样证明：
In=∫（sinx)＾ndx
=-∫（sinx)＾(n-1)dcosx
=-cosx*(sinx)＾(n-1)+∫cosxd[(sinx)＾(n-1)]
=-cosx*(sinx)＾(n-1)+(n-1)∫cosx*(sinx)＾(n-2)*cosxdx
=-cosx*(sinx)＾(n-1)+(n-1)∫(cosx)＾2*(sinx)＾(n-2)dx
=-cosx*(sinx)＾(n-1)+(n-1)∫[(sinx)＾(n-2)-(sinx)＾n]dx
=-cosx*(sinx)＾(n-1)+(n-1)l(n-2)-(n-1)ln
移向得
nln=-cosx*(sinx)＾(n-1)+(n-1) I(n-2)
即ln=-1/n(sinx)＾(n-1)cosx+(n-1)/n I(n-2)
命题得证