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求证:n是自然数时,n∧5－n一定能被30整除.
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求证:n是自然数时,n∧5－n一定能被30整除.
▼优质解答
答案和解析
n^5-n
=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1)是3个连续整数的积,显然既能被2整除,也能被3整除,
所以n^5-n能被6整除
下面证明n^5-n能被5整除
当n模5余0,1,4的时候显然n(n-1)(n+1)能被5整除
当n模5余2的时候,
设n=5m+2
n^2+1=(5m+2)^2+1
=25m^2+20m+5
能被5整除
当n模5余3的时候,
设n=5m+3
n^2+1=(5m+3)^2+1
=25m^2+30m+10
也能被5整除
因此
n^5-n能被5整除
又n^5-n能被6整除
所以n^5-n能被30整除
=n(n^4-1)
=n(n^2-1)(n^2+1)
=n(n-1)(n+1)(n^2+1)
n(n-1)(n+1)是3个连续整数的积,显然既能被2整除,也能被3整除,
所以n^5-n能被6整除
下面证明n^5-n能被5整除
当n模5余0,1,4的时候显然n(n-1)(n+1)能被5整除
当n模5余2的时候,
设n=5m+2
n^2+1=(5m+2)^2+1
=25m^2+20m+5
能被5整除
当n模5余3的时候,
设n=5m+3
n^2+1=(5m+3)^2+1
=25m^2+30m+10
也能被5整除
因此
n^5-n能被5整除
又n^5-n能被6整除
所以n^5-n能被30整除
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