过x轴和y轴分别作动平面,使它们保持定交角α,求它们的交线产生的曲面方程为什么是cos²α(x²y²+x²z²+y²z²+z^4)=x²y²

Question

过x轴和y轴分别作动平面,使它们保持定交角α,求它们的交线产生的曲面方程
为什么是cos²α(x²y²+x²z²+y²z²+z^4)=x²y²

Answer 1

设O为原点,P(a,b,c)为曲面上一点,可知OP是平面xOP与平面yOP的交线.
易见平面cy-bz = 0通过x轴与P点,因此cy-bz = 0就是平面xOP的方程.
同理cx-az = 0就是平面yOP的方程.
平面xOP的法向量为(0,c,-b),平面yOP的法向量为(c,0,-a).
两个平面交角为α,故它们的法向量交角为α或π-α.
有等式ab = (0,c,-b)·(c,0,-a) = ±|(0,c,-b)||(c,0,-a)|cos(α).
平方得a²b² = (0,c,-b)²(c,0,-a)²cos²(α) = (c²+b²)(c²+a²)cos²(α).
即点P的坐标满足方程(z²+x²)(z²+y²)cos²(α) = x²y².
注:平面交角可能是一对互补的角,因此上面平方去掉符号的过程并未增加更多的点.