已知f（x）=ax2+bx+cx＜0ln(1+x)x≥0在x=0处有二阶导数，试确定参数a，b，c的值．

Question

已知f（x）=

ax2+bx+c	x＜0
ln(1+x)	x≥0

在x=0处有二阶导数，试确定参数a，b，c的值．

Answer 1

首先f（x）在x=0处连续，则由f（0-0）=f（0+0）=f（0）=0，得 c=0；
f′+(0)＝

lim

x→0+

(ln(1+x))/(x)＝1，f′−(0)＝

lim

x→0−

(ax2+bx)/(x)＝b，
因为f（x）在x=0处可导，则f'₊（0）=f'_-（0），因而b=1；
又有f（x）在x=0处二阶可导，
f″+(0)＝

lim

x→0+

(f′(x)−f′(0))/(x)＝

lim

x→0+

(2ax+b−1)/(x)＝2a，
f″−(0)＝

lim

x→0−

(f′(x)−f′(0))/(x)＝

lim

x→0−

((1+x)−1−1)/(x)＝

lim

x→0−

(−x)/(x)＝−1，
由f″₊（0）=f″_-（0）得a＝−(1)/(2)．