一个高数问题反双曲余弦函数是：archx=ln(x+√(x〃-1)）,其中Df={x||x|>1}.但是,我想问一下,为什么不是可以推导得到的另外一个表达式：ln(x-√（x〃-1））,而且,定义域中为什么不可以取x=1这个

Question

一个高数问题
反双曲余弦函数是：archx=ln(x+√(x〃-1)）,其中Df={x| |x|>1}.但是,我想问一下,为什么不是可以推导得到的另外一个表达式：ln(x-√（ x〃-1））,而且,定义域中为什么不可以取x=1 这个值
希望可以提供更详细些的回复，回答的很好的话我还会有追加分哦。

Answer 1

广义来说,反双曲余弦函数是多值函数,但我们只取用它的正值分支,即
arccosh(x)=ln[x+√(x²-1)]
以让它成为一个单值函数.
为什么舍去它的负值分支“ln[x-√(x²-1)]”?很简单,因为把负值分支也包括进来的话就会出现“一个x对应两个y”的情况,作为单值函数而言,这是不允许的.
为什么是舍弃负值分支而不是舍去正值分支?这纯粹是人们约定俗成.因为要想反双曲余弦为单值函数,就必须舍弃一个分支,人们选择了保留正值分支.
又如,为什么反正切函数是(-π/2,π/2)那一支,而不是(π/2,3π/2)那一支,很简单,纯粹是基于方便的约定俗成.
为什么定义域不可以取x＝1这个值?这不算是一个好问题.因为不同的参考书对反双曲余弦函数的定义域有不同的定义,有的包含1,有的没有包含.不同参考书出现定义不一致的情况很常见,这没有对错之分,关键在于你更认同哪一个.