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换元法求值域的原理参考书上有这种方法,但不知道是什么原理,为什么能用这种方法。在用的时候,会不会使值域范围增大或减小。换元前的式子与换元后的式子为什么是等价的?望高手

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换元法求值域的原理
参考书上有这种方法,但不知道是什么原理,为什么能用这种方法。在用的时候,会不会使值域范围增大或减小。换元前的式子与换元后的式子为什么是等价的? 望高手答疑解惑
▼优质解答
答案和解析
哎,我把你认为是另一个提很多问题的人了!现在让我给你参考参考:
首先,为什么我们要换元:是因为所求式子较复杂或是用换元法比较容易解决。
举个例子:求y=x+√(1-x)的值域,如果直接入手,有一定难度,但我们可以假设:
t=√(1-x),反解出:x=1-t^2,(注意:t≥0,"√"代表根号)
所以原式等价于:y=1-t^2+t=-t^2+t+1(二次函数是我们所熟悉的),其值域为:
(-∞,5/4]。
任何数学变换都要遵循一个原则(理):等价变换。
为什么等价:以y=x+√(1-x)为例,原式x的取值范围为:x≤1;
它是受√(1-x)所约束的,说简单点,x 的值是由√(1-x)≥0解得的,但是我们没有必要求出x的值,因为我们的目的是要求值域,而不是定义域。这样t=√(1-x)
t≥0与解得的x≤1是一个意思(t≥0等价于x≤1),接下来只需要用字母t的式子去代替用x表示的式子,原来的根号就消失了,式子变得简单了。
那为什么值又没有扩大或是缩小呢:
既然定义域都没有变,那值域怎么会变呢,我们只是用t去等量代替√(1-x),从而避免根号这个“障眼法”,而使问题变得简洁。(换元法的最终目的是使复杂式子简单化,也就是更容易看懂)
(重点参考:等价变换实际上是定义域不变的代换,定义不变,值也就不变。换元法求值域就好比你要从A地到B地,但是路有很多条,但是只有一条比较好走,而你选择的就是那一条好走的路,殊途同归,实际都能到达)
(教师,是一个多么令人崇敬的职业!“授人以鱼,不如授以渔”,是教育工作者的宗旨!可是许多时候,他们知道自己讲什么,但却不知道学生想要什么)
(多问问老师或是懂得同学才是最好的方法,写了那么多,希望你能明白)
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