如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上．桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度v0沿垂直于杆DB

Question

如图所示，一根质量可以忽略的细杆，长为2l，两端和中心处分别固连着质量为m的小球B、D和C，开始时静止在光滑的水平桌面上．桌面上另有一质量为M的小球A，以一给定速度v₀沿垂直于杆DB的方间与右端小球B作弹性碰撞．求刚碰后小球A，B，C，D的速度，并详细讨论以后可能发生的运动情况．

Answer 1

（1）求刚碰撞后小球A、B、C、D的速度，
设刚碰撞后，小球A、B、C、D的速度分别为v_A、v_B、v_C、v_D，并设它们的方向都与v₀的方向相同．由于小球C位于由B、C、D三球组成的系统的质心处，所以小球C的速度也就是这系统的质心的速度．因碰撞前后四小球组成的质点组的动量守恒，故有：
Mv₀=Mv_A+3mv_C     （1）
碰撞前后质点组的角动量守恒，有：
0=mlv_c+2mlv_D                  （2）
这里角动量的参考点设在与B球重合的空间固定点，且规定顺时针方向的角动量为正．因为是弹性碰撞，碰撞前后质点组的动能相等，有：
(1)/(2)Mv₀²=(1)/(2)Mv_A²+(1)/(2)mv_B²+(1)/(2)mv_c²+(1)/(2)mv_D²    （3）
因为杆是刚性杆，小球B和D相对于小球C的速度大小必相等，方向应相反，所以有：
v_B-v_c=v_c-v_D                          （4）
解（1）、（2）、（3）、（4）式，可得两个
v_c=0  （5）和 v_c=(4M)/(5M+6m)v₀  （6）
因为v_c 也是刚碰撞后由B、C、D三小球组成的系统的质心的速度，根据质心运动定律，碰撞后这系统的质心不可能静止不动，故（5）式不合理，应舍去．取（6）式时可解得刚碰撞后A、B、D三球的速度：
v_A=(5M−6m)/(5M+6m)v₀     （7）
v_B=(10M)/(5M+6m)v₀    （8）
v_D=-(2M)/(5M+6m)v₀     （9）
（2）讨论碰撞后各小球的运动：
碰撞后，由于B、C、D三小球组成的系统不受外力作用，其质心的速度不变，故小球C将以（6）式的速度即v_c=(4M)/(5M+6m)v₀ 沿v₀方向作匀速运动．由（4）、（8）、（9）式可知，碰撞后，B、D两小球将绕小球C作匀角速度转动，角速度的大小为：
ω=(vB−vc)/(l)=(6M)/(5M+6m)(v0)/(l)     （10）
方向为逆时针方向．由（7）式可知，碰后小球A的速度的大小和方向与M、m的大小有关，下面就M、m取值不同而导致运动情形的不同进行讨论：
（i）v_A=0，即碰撞后小球A停住，由（7）式可知发生这种运动的条件是：
5M-6m=0
即  (M)/(m)=(6)/(5)     （11）
（ii）v_A＜0，即碰撞后小球A反方向运动，根据（7）式，发生这种运动的条件是：
(M)/(m)＜(6)/(5)   （12）
（iii）v_A＞0，但v_A＜v_C 但，即碰撞后小球A 沿v₀ 方向作匀速直线运动，但其速度小于小球C的速度．由（7）式和（6）式，可知发生这种运动的条件是：
5M-6m＞0 和4M＞5M-6m
即 (6)/(5)m＜M＜6m      （13）
（iv）v_A＞v_C，即碰撞后小球A仍沿v₀ 方向运动，且其速度大于小球C的速度，发生这种运动的条件是：
M＞6m    （14）
（v）v_A=v_C，即碰撞后小球A 和小球C以相同的速度一起沿v₀ 方向运动，发生这种运动的条件是：
M=6m    （15）
在这种情形下，由于小球B、D绕小球C作圆周运动，当细杆转过180°时，小球D 将从小球A的后面与小球A相遇，而发生第二次碰撞，碰后小球A继续沿v₀方向运动．根据质心运动定理，C球的速度要减小，碰后再也不可能发生第三次碰撞．这两次碰撞的时间间隔是：
t=(π)/(ω)=((5M+6m)πl)/(6Mv0)      （16）
从第一次碰撞到第二次碰撞，小球C走过的路程：
d=v_ct=(2πl)/(3)     （17）
（3）求第二次碰撞后，小球A、B、C、D的速度，
刚要发生第二次碰撞时，细杆已转过180°，这时，小球B的速度为v_D，小球D的速度为v_B．在第二次碰撞过程中，质点组的动量守恒，角动量守恒和能量守恒．设第二次刚碰撞后小球A、B、C、D的速度分别为v_A′、v_B′、v_C′和v_D′，并假定它们的方向都与v₀的方向相同．注意到（1）、（2）、（3）式可得：
Mv_B=Mv_A′+3mv_C′（18）
0=mlv_c′+2mlv_B′（19）
(1)/(2)Mv₀²=(1)/(2)Mv_A′²+(1)/(2)mv_B′²+(1)/(2)mv_c′²+(1)/(2)mv_D′²      （20）
由杆的刚性条件有
v_D′-v_c′=v_c′-v_B′（21）
（19）式的角动量参考点设在刚要发生第二次碰撞时与D球重合的空间点．
把（18）、（19）、（20）、（21）式与（1）、（2）、（3）、（4）式对比，可以看到它们除了小球B 和D互换之外是完全相同的．因此它们也有两个
v_c′=0       （22）
和   v_c′=(4M)/(5M+6m)v₀      （23）
对于由B、C、D 三小球组成的系统，在受到A球的作用后，其质心的速度不可能保持不变，而（23）式是第二次碰撞未发生时质心的速度，不合理，应该舍去．取（22）式时，可解得：
v_A′=v_B       （24）
v_B′=0       （25）
v_D′=0      （26）
（22）、（24）、（25）、（26）式表明第二次碰撞后，小球A以速度v_B 作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B、C、D则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离d=(2πl)/(3)，而且小球D和B换了位置．
答：（1）碰撞后A、B、D三球的速度：v_A=(5M−6m)/(5M+6m)v₀，v_B=(10M)/(5M+6m)v₀，v_c=(4M)/(5M+6m)v₀，v_D=-(2M)/(5M+6m)v₀；
（2）第二次碰撞后，小球A以速度v_B 作匀速直线运动，即恢复到第一次碰撞前的运动，但已位于杆的前方，细杆和小球B、C、D则处于静止状态，即恢复到第一次碰撞前的运动状态，但都向前移动了一段距离d=(2πl)/(3)，而且小球D和B换了位置．