模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常

Question

模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧 的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图①，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？
大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题

如图②，作B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置．请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答．
（1）理由：如图③，在直线L上任取一点C′，连结AC′，BC′，B′C′．
∵直线L是点B，B′的对称轴，点C，C′在L上．
∴CB=___，C′B=___
∴AC+CB=AC+CB′=___．
在△AC′B′中，∵AB′<AC′+C′B′．
∴AC+CB<AC′+C′B′．
∴AC+CB<AC′+C′B′即AC+CB最小
归纳小结：
本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两 点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB′与l的交点，即A、C、B′三点共线）．
本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．
（2）模型应用
如图④，正方形 ABCD 的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点．
求EF+FB的最小值
分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段___的长度，EF+FB的最小值是___．

如图⑤，已知 O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是

AD

的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是___．
如图⑥，一次函数y=-2x+4的图象与x、y轴分别交于点A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA、AB的中点，点P为OB上一动点．求PC+PD取得最小值时P点坐标．

Answer 1

（1）如图③，在直线L上任取一点C′，连结AC′，BC′，B′C′．
∵直线l是点B，B′的对称轴，点C，C′在直线l上．
∴CB=CB′，C′B=C′B′
∴AC+CB=AC+CB′=AB′．
故答案是：CB′，C′B′，AB′；
（2）图④EF+FB的最小值就是线段DE的长，DE=√(22+12)=√(5)．
故答案是：DE，√(5)；

图⑤：（1）作B关于CD的对称点E，则E正好在圆周上，
连接OA、OB、OE、AE，AE交CD于P，
则AP+BP最短，
∵∠AOD=60°，B为弧AD中点，
∴弧AB=弧BD，且弧AB的度数是30°，
∴∠AEB=15°（圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半），
∵B关于CD的对称点是E，
∴弧BE的度数是60°，
∴∠AOE=90°，
∵OA=OE（都是半径），
∴△OAE是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AE=2√(2)；

图⑥：（2）如图1，

∵点C的坐标为（1，0），
则C关于y轴的对称点为C′（-1，0），
又∵点D的坐标为（1，2），
连接C′D，设C′D的解析式为y=kx+b，
有

-k+b=0

k+b=2

，
解得

k=1

b=1

，
∴y=x-1是DC′的解析式，
∵x=0，
∴y=1，
即P（0，1）．
∵PC+PD的最小值=C′D=√((1+1)2+22)=2√(2)．