已知（a+1）x-1-lnx≤0对于任意x∈[12，2]恒成立，则a的最大值为（）A.0B.1C.1-2ln2D.-1+ln22

Question

已知（a+1）x-1-lnx≤0对于任意x∈[

(1)/(2)，2]恒成立，则a的最大值为（　　）

A. 0

B. 1

C. 1-2ln2

D.

(-1+ln2)/(2)

Answer 1

（a+1）x-1-lnx≤0对于任意x∈[(1)/(2)，2]恒成立
⇔a≤(1+lnx)/(x)-1对于任意x∈[(1)/(2)，2]恒成立
⇔a≤((1+lnx)/(x)-1)min对于任意x∈[(1)/(2)，2]恒成立
设f（x）=(1+lnx)/(x)-1，x∈[(1)/(2)，2]，则f′（x）=(-lnx)/(x2)，
令f′（x）>0，解得：(1)/(2)≤x<1，令f′（x）>0，解得：1<x≤2，
∴f（x）在[(1)/(2)，1）递增，在（1，2]递减，
∴f（(1)/(2)）或f（2）最小，
而f（(1)/(2)）=1-2ln2，f（2）=(1)/(2)ln2-(1)/(2)，
∴f（(1)/(2)）<f（2），
∴a的最大值是1-2ln2，
故选：C．