某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数p（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：p＝x26，(1≤x＜4)x+3x−2512，(x≥4

Question

某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平等因素的限制，会产生较多次品，根据经验知道，次品数p（万件）与日产量x（万件）之间满足关系：p＝

(x2)/(6)，(1≤x＜4)

x+(3)/(x)−(25)/(12)，(x≥4)

．已知每生产l万件合格的元件可以盈利20万元，但每产生l万件次品将亏损10万元．（实际利润=合格产品的盈利-生产次品的亏损）
（1）试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润T（万元） 表示为日产量x（万件）的函数；
（2）当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件） 定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少？

Answer 1

（1）当1≤x＜4时，合格的元件数为x−(x2)/(6)（万件），
利润T＝20(x−(x2)/(6))−10×(x2)/(6)＝20x−5x2（万元）；
当x≥4时，合格的元件数为x−(x+(3)/(x)−(25)/(12))＝(25)/(12)−(3)/(x)（万件），
利润T＝20((25)/(12)−(3)/(x))−10(x+(3)/(x)−(25)/(12))＝(125)/(2)−(90)/(x)−10x（万元），
综上，该工厂每天生产这种元件所获得的利润为T＝

20x−5x2，1≤x＜4

(125)/(2)−(90)/(x)−10x，x≥4

．
（2）当1≤x＜4时，T=20x-5x²=-5（x-2）²+20
∴当x=2（万件）时，利润T的最大值20（万元）；
当x≥4时，T＝(125)/(2)−(90)/(x)−10x＝(125)/(2)−(10x+(90)/(x))
令y＝10x+(90)/(x)，则y′＝10−(90)/(x2)＝(10(x+3)(x−3))/(x2)，
当x∈[4，+∞）时，y^′＞0，所以y＝10x+(90)/(x)在[4，+∞）上是单调递增，
所以函数T（x）在[4，+∞）上是减函数，
则当x=4时，利润T的最大值0．      
综上所述，当日产量定为2（万件）时，工厂可获得最大利润20万元．
答：当工厂将这种仪器的元件的日产量x（万件） 定为2（万件）时获得的利润最大，最大利润为20万元．