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某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平等因素的限制,会产生较多次品,根据经验知道,次品数p(万件)与日产量x(万件)之间满足关系:p=x26,(1≤x<4)x+3x−2512,(x≥4
题目详情
某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平等因素的限制,会产生较多次品,根据经验知道,次品数p(万件)与日产量x(万件)之间满足关系:p=
.已知每生产l万件合格的元件可以盈利20万元,但每产生l万件次品将亏损10万元.(实际利润=合格产品的盈利-生产次品的亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润T(万元) 表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当工厂将这种仪器的元件的日产量x(万件) 定为多少时获得的利润最大,最大利润为多少?
|
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的实际利润T(万元) 表示为日产量x(万件)的函数;
(2)当工厂将这种仪器的元件的日产量x(万件) 定为多少时获得的利润最大,最大利润为多少?
▼优质解答
答案和解析
(1)当1≤x<4时,合格的元件数为x−
(万件),
利润T=20(x−
)−10×
=20x−5x2(万元);
当x≥4时,合格的元件数为x−(x+
−
)=
−
(万件),
利润T=20(
−
)−10(x+
−
)=
−
−10x(万元),
综上,该工厂每天生产这种元件所获得的利润为T=
.
(2)当1≤x<4时,T=20x-5x2=-5(x-2)2+20
∴当x=2(万件)时,利润T的最大值20(万元);
当x≥4时,T=
−
−10x=
−(10x+
)
令y=10x+
,则y′=10−
=
,
当x∈[4,+∞)时,y′>0,所以y=10x+
在[4,+∞)上是单调递增,
所以函数T(x)在[4,+∞)上是减函数,
则当x=4时,利润T的最大值0.
综上所述,当日产量定为2(万件)时,工厂可获得最大利润20万元.
答:当工厂将这种仪器的元件的日产量x(万件) 定为2(万件)时获得的利润最大,最大利润为20万元.
x2 |
6 |
利润T=20(x−
x2 |
6 |
x2 |
6 |
当x≥4时,合格的元件数为x−(x+
3 |
x |
25 |
12 |
25 |
12 |
3 |
x |
利润T=20(
25 |
12 |
3 |
x |
3 |
x |
25 |
12 |
125 |
2 |
90 |
x |
综上,该工厂每天生产这种元件所获得的利润为T=
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(2)当1≤x<4时,T=20x-5x2=-5(x-2)2+20
∴当x=2(万件)时,利润T的最大值20(万元);
当x≥4时,T=
125 |
2 |
90 |
x |
125 |
2 |
90 |
x |
令y=10x+
90 |
x |
90 |
x2 |
10(x+3)(x−3) |
x2 |
当x∈[4,+∞)时,y′>0,所以y=10x+
90 |
x |
所以函数T(x)在[4,+∞)上是减函数,
则当x=4时,利润T的最大值0.
综上所述,当日产量定为2(万件)时,工厂可获得最大利润20万元.
答:当工厂将这种仪器的元件的日产量x(万件) 定为2(万件)时获得的利润最大,最大利润为20万元.
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